Szereg Fouriera

1. Trygonometryczny szereg Fouriera.

Szereg Fouriera sygnału w przedziale skończonym

Założenie:

Sygnał y= y(t)Î Â, jest określony prawie wszędzie w domkniętym przedziale < t₀ t₀+T > i jest całkowalny w tym przedziale.

Trygonometrycznym szeregiem Fouriera ( szeregiem Fouriera ) sygnału y(t) w przedziale < t₀ t₀+T > nazywamy szereg:

gdzie , współczynniki szeregu są określone wzorami Eulera – Fouriera:

– średnia y(t) za czas T;

– średnia ważona y(t) za czas T;

Twierdzenie DIRICHLETA

Jeśli sygnał y= y(t)Î Â określony prawie wszędzie w przedziale < t₀ t₀+T > jest:

Ø przedziałami monotoniczny w przedziale ( t₀ t₀+T );

Ø ciągły w przedziale ( t₀ t₀+T ), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju ( skoków );

to w każdym punkcie tÎ( t₀ t₀+T ), w którym sygnał y= y(t) jest ciągły, zachodzi równość:

Uwaga: W punktach t¢ nieciągłości pierwszego rodzaju zachodzi:

2. Szereg Fouriera sygnału okresowego ( SF ).

Jeśli sygnał y= y(t) jest rozwijalny w szereg Fouriera w przedziale < t₀ t₀+T > i y(t) jest sygnałem okresowym o okresie T, to równość:

zachodzi prawie wszędzie w przedziale tÎ(–¥, +¥).

Twierdzenie

Jeśli sygnał okresowy y= y(t)Î Â o okresie T określony prawie wszędzie i całkowalny w dowolnym przedziale o długości T jest w przedziale (–¥, +¥):

1. przedziałami monotoniczny;

2. ciągły, z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów nieciągłości pierwszego rodzaju ( skoków );

to jest on rozwijalny w szereg Fouriera, tzn. prawie wszędzie zachodzi równość:

gdzie , współczynniki szeregu są określone wzorami Eulera – Fouriera:

– średnia y(t) za okres T;

– średnia ważona y(t) za okres T;

– średnia ważona y(t) za okres T.

Jednofunkcyjny zapis szeregu Fouriera sygnału okresowego

Dla każdej liczby k= 1, 2, … zachodzi:

gdzie: , , .

gdzie: Y₀= a₀.

Każdy sygnał okresowy y(t) o okresie T jest sumą sygnału stałego Y₀ ( składowa stała sygnału – wartość średnia za okres ) i, w ogólnym przypadku, nieskończenie wielu sygnałów sinusoidalnych ( składowych harmonicznych ) o pulsacjach kw₀, będących wielokrotnościami pulsacji podstawowej , oraz o amplitudach Y_mk i fazach początkowych j_k. Pierwsza składowa harmoniczna Y_m1cos(w₀t + j₁) nazywa się składową podstawową sygnału y(t).

3. Typy symetrii sygnałów.

Ø Jeśli y(t)= y(–t) – funkcja parzysta, to b_k= 0 dla k= 1,2,3…

Ø Jeśli y(t)= – y(–t) – funkcja nieparzysta, to a₀= 0 i a_k= 0 dla k= 1,2,3…

Ø Jeśli y(t)= – y(t+T/2) – funkcja antysymetryczna, to szereg Fouriera zawiera tylko składowe harmoniczne o pulsacjach będące nieparzystymi wielokrotnościami pulsacji podstawowej w₀