X.
RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci:

Warunki regularności na i :

1. skończone
2. ciągłe
3. jednoznaczne

Wielkość k we wzorze (X.4) jest równa:

{E} – zbiór ciągły

b) cząstka w nieskończenie głębokiej studni potencjału

Obszar II:

V(x) = 0,

Równanie (X.6) jak dla oscylatora harmonicznego.

(X.7a) i (X.7b) są to dwa szczegółowe rozwiązania równania (6).

Funkcja własna y₂(x) nie spełnia warunku ciągłości bo:
– brak ciągłości

Natomiast funkcja własna y₁(x) jest spełniona dla takiego warunku:

Z wzorów (X.5) i (X.8) otrzymujemy, że energia na n–tym poziomie energetycznym wyraża się wzorem:

Ze wzoru (X.9) wynika, że zbiór energii {E} jest dyskretny, stąd kwantowanie.
Funkcje własne cząstki zamkniętej w jamie potencjału:

X.1. OPERATOROWA POSTAĆ RÓWNANIA SCHRÖDINGERA.

{a}:

• zbiór ciągły (cząstka swobodna),
• dyskretny (cząstka w jamie potencjału)

Jeżeli do danej wartości własnej należy więcej niż jedna funkcja własna to dana wartość jest zdegenerowana.

Jeśli dla a_i istnieje n różnych funkcji własnych {y₁, y₂,..., y_n}, to jest to n – krotna degeneracja (zwyrodnienie)

Stosuje się równoważny zapis równania (X.1.1):

gdzie: – hamiltonian (operator Hamiltona) jest wyrażony wzorem:

Wyrażenie (X.1.3) również zapisuje się w skróconej wersji:

gdzie:

to operator Laplace'a

X.2. OPERATOR ENERGII.

Operatorem energii nazywamy wyrażenie:

Równanie własne dla operatora energii jest postaci:

czyli:

X.3. OPERATOR PĘDU.

Poszukujemy operatora:

Po podzieleniu równania (X.3.2) przez otrzymujemy:

Z własności operatorów:

Z równań (X.3.3) oraz (X.3.4) wynika, że:

Analogicznie można znaleźć operatory:

X.4. WARTOŚCI WŁASNE I FUNKCJE WŁASNE KRĘTU

Stara teoria kwantowa:

II postulat Bohra :

Reguły kwantowania Wilsona – Somerfelda:

Składowym krętu L przypisujemy odpowiednio ich operatory:

(X.4.4a) →

(X.4.4b) →

(X.4.4c) →

Podstawiając do wzorów (X.4.5) uzyskane wcześniej wartości operatorów składowych pędu otrzymujemy:

Równanie (X.4.7) po podstawieniu wartości operatora składowej krętu (X.4.6c) przyjmuje postać:

Współrzędne biegunowe:

Operator krętu we współrzędnych biegunowych:

Równanie własne z – towej składowej:

Z wzorów (X.4.7) i (X.4.8c) wynika:

Wzór (X.4.13) stanowi matematyczne rozwiązanie równania własnego (X.4.7).

Założenia:

Z jednoznaczności funkcji, przy takim założeniu znajdujemy funkcje własne.

gdzie m – magnetyczna liczba kwantowa,

składowe krętu podlegają zasadzie nieoznaczoności Heisenberga.

X.5. WARTOŚCI WŁASNE I FUNKCJE WŁASNE

– funkcja własna

Stosujemy metodę separacji zmiennych:

Z wzorów (X.5.4) i (X.5.5) otrzymujemy:

We wzorze (X.5.6) lewa strona będzie równa prawej wtedy i tylko wtedy, gdy obie strony równania będą stałe:

Rozwiązanie (X.5.7b) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy

Kwantowanie L jest inne niż przewiduje stara teoria kwantowa. Według niej kręt wyraża się wzorem:

,

L → L* dla dużego l. Największa różnica w wartościach krętu jest w wartości minimalnej.
Z wzoru (X.5.10) wynika, że minimalna wartość krętu jest równa :

Natomiast według starej teorii kwantów wartość minimalna krętu:

Mamy więc sprzeczność, bo:

Eksperyment potwierdza słuszność, że zależność (X.5.11) jest prawdziwa:

gdzie – wielomian Legendre'a

l	|m|
0	0	1
1 1	1 0	1
2 2 2	2 1 0	3

Z wyrażeń (X.5.5), (X.5.6) oraz (X.5.11) otrzymujemy, że:

Orbitalna liczba kwantowa l określa stany elektronowe.

Elektron s, to taki, dla którego kręt orbitalny jest równy 0, elektron p – kręt orbitalny równy 1, itd.

X.6. FUNKCJA FALOWA CZĄSTKI SWOBODNEJ (FALE MATERII).

Cząstka swobodna – potencjał V jest równy 0.

założenie 1:

Po podstawieniu wyrażenia (X.6.2) do równania (X.6.1) otrzymujemy:

Funkcje własne dane są wzorem:

Założenie 2:

Wylicza się, że współczynnik a wynosi:

W trzech wymiarach wzór (X.6.6) przyjmuje postać:

Postać funkcji falowej:

1. w jednym wymiarze (1D):
   
   (X.6.8)  
2. W trzech wymiarach (3D):
   
   (X.6.9)  

Według wyniku prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest wszędzie takie samo, co jest sprzeczne z definicją cząstki, bo cząstka jest w jakimś miejscu, a nie wszędzie. Lepszym rozwiązaniem dla cząstki swobodnej jest pakiet falowy, między innymi rozwiązuje problem lokalizacji.

X.7. PAKIET FALOWY.

Definicja pakietu falowego:
Jest to funkcja falowa, która w pewnym miejscu (obszarze) ma wartości różne od zera, a po za tym obszarem jest równa 0.

Konstrukcja pakietu falowego:

1D:

c(k₀) – amplituda funkcji.

Funkcja falowa (X.7.1) po rozwinięciu w szereg ma postać:

Wyrażenie (X.7.2) stanowi matematyczną postać pakietu falowego. Możemy je zapisać jako:

Przy czym c (x,t) stanowi amplitudę i wyraża się wzorem:

gdzie:

Ponieważ , to muszą być spełnione warunki:

oraz

Z pierwszego otrzymujemy, że:

Natomiast z drugiego:

X.8. PRĘDKOŚĆ GRUPOWA u.

Prędkość grupowa jest to prędkość z jaką przesuwa się maksimum główne w pakiecie falowym. Jest ona równa prędkości cząstki fali de Broglie'a.

Prędkość fazowa fali – jest to prędkość, z jaką przesuwa się faza np. punkt 1.

Wzór (X.8.5) przedstawia zależność pomiędzy prędkością fazową v, a prędkością grupową u.
Te wielkości są tożsame wtedy, gdy prędkość nie zależy od długości fali (brak dyspersji).

X.9. RELACJA PRĘDKOŚCI GRUPOWEJ (u) Z PRĘDKOŚCIĄ CZĄSTKI (v₀).

Opis cząstki klasycznie:

Opis tej samej cząstki poprzez fale materii: