XI.

XI.1. ATOM WODOROPODOBNY

Atomy wodoropodobne, to pierwiastki posiadające tylko jeden elektron, np. He⁺, Na⁺⁺, itd.

Energię możemy wyrazić z pomocą wzoru: (XI.1.1) gdzie – energia kinetyczna elektronu (XI.1.2a) m – masa elektronu p – pęd elektronu – energia kinetyczna jądra atomowego

V – energia potencjalna (potencjał)

Masa jądra atomowego M jest znacznie większa od masy elektronu m.

Równanie Schrődingera dla atomu wodoropodobnego znajdujemy posługując się regułami Jordana:

We wzorze (XI.1.5) współrzędne x, y, z to współrzędne względne (położenie elektronu względem jądra lub odwrotnie).

Separujemy zmienne:

Ze wzorów (XI.1.3) oraz (XI.1.6) otrzymujemy:

Równanie (XI.1.7a) opisuje ruch atomu jako całości, z energią kinetyczną równą (E' – E).

Uwaga:

Wyrażenie (XI.1.8a) opisuje falę płaską.

φ – kąt azymutalny θ – kąt biegunowy

μ jest to tzw. masa zredukowana i jest ona równa:

Równanie (XI.1.9) rozwiązuje się metodą separacji zmiennych czyli zakładamy, że:

R – funkcja radialna
Wykorzystujemy znajomość funkcji własnej (patrz rozdział X.5.)

Z równania (XI.1.10) oraz wykorzystując funkcję własną otrzymujemy:

Po podstawieniu do równania (XI.1.12) wartości własnej operatora

Szukamy rozwiązań postaci:

– część radialna

– część kątowa

Z równań (XI.1.13) oraz (XI.1.14) otrzymujemy:

Równanie (XI.1.15) to równanie Laguerra

1. E ≥ 0, E jest ciągła
2. E < 0 – elektron związany – tworzy razem z jądrem atom.

Równanie (XI.1.16) to zbiór rozwiązań równania (XI.1.15) przy warunku b).
Z teorii Bohra – Sommerfelda:

n – główna liczba kwantowa
l = 0,1,....,n – 1 – orbitalna liczba kwantowa

gdzie jest wielomianem Lagguera.

;

ELEKTRON	n	l
1s	1	0	na 1 orbicie
2s 2p	2 2	0 1
3s 3p 3d	3 3 3	0 1 2

funkcji własnych

istnieje degeneracja stopnia n².

Tylko elektronowi w stanie podstawowym (n = 1) odpowiada jedna funkcja własna – stan elektronu jest niezdegenerowany. Na następnych orbitach stopień degeneracji rośnie. Każdy stan atomu wodoropodobnego określony jest przez 3 wartości liczb całkowitych: n, l, m.

XI.2. KWANTOWO – MECHANICZNY OBRAZ ATOMU (WG BORNA)

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w objętości dV: (XI.2.1)  Przy czym funkcja y dana jest równaniem (XI.1.18)

Z wyrażeń (XI.2.2b), (XI.2.2a) oraz (XI.2.2) otrzymujemy:

Z warunku normalizacji:

Znormalizowana funkcja falowa atomu wodoropodobnego wyraża się wzorem:

Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w objętości dV:

Gęstość prawdopodobieństwa

A) Zależność od

Prawdopodobieństwo wszędzie jest stałe – ma charakter izotropowy.

B) Zależność od

Stan kwantowy dla danej trójki liczb kwantowych nazywa się orbitalem.

Orbital 1s – dla tych stanów rozkład gęstości jest sferycznie symetryczny.

l = 1 – stan "p"

OP – odcinek łączący początek układu z punktem P pod kątem θ.
Rozkład gęstości jest typowo anizotropowy.

C) Zależność : 

– zależność samej funkcji falowej od r
– gęstość prawdopodobieństwa

Mechanika kwantowa przewiduje możliwość penetracji jądra atomowego przez elektron – pewne prawdopodobieństwo, że elektron znajduje się wewnątrz jądra. Tylko elektrony typu s mają gęstość prawdopodobieństwa różną od zera w obszarze jądra atomowego.

Funkcja falowa radialna stanu podstawowego (n = 1, l = 0, m = 0).

Indeks 100 oznacza trzy liczby kwantowe (n = 1, l = 0, m = 0)

Inną wielkością, którą obrazuje się położenie elektronu w atomie jest częstość przebywania elektronu w powłoce sferycznej o promieniu r i grubości dr (rys.XI.4):

Model orbitalny wprowadzony przez Bohra i Sommerfelda nie znajduje potwierdzenia w fizyce kwantowej (kształty orbitali).