V.
TEORIA SOMMERFELDA

V.1. REGUŁY KWANTOWANIA WILSONA – SOMMERFELDA

Reguły kwantowania Wilsona – Sommerfelda dotyczą dowolnej wielkości fizycznej, która jest periodyczną funkcją czasu (jeżeli funkcje opisujące jakiś układ są funkcjami periodycznymi to układ jest kwantowalny).

Przykład: Punkt o masie m poruszający się po orbicie kołowej.

(r,&phi ) q1 = r, q2 = &phi r = const &phi = &omega t

, czyli:

Zależność (V.1.4) zgodna (identyczna) z II postulatem Bohra. Stanowi jego matematyczne rozwiązanie.

Jeżeli (V.1.1) zastosujemy do oscylującej cząstki o masie m, to możemy znaleźć jej energię całkowitą:

Sommerfeld uogólnił model Bohra i pokazał że elektron na danej orbicie może poruszać się po orbicie eliptycznej (kołowa jest jej szczególnym przypadkiem), przy czym liczba orbit zależy od n i jest dokładnie jej równa.
n – będziemy nazywać główną liczbą kwantową.

V.2. SUBTELNA STRUKTURA WIDMA WODORU.

Wszystkie linie spektralne począwszy od n = 2 są rozszczepione – jest to struktura subtelna.
Struktura subtelna została wyjaśniona w oparciu o rachunek relatywistyczny.

Sommerfeld był w stanie obliczyć parametry orbit i ich energie.

, n _&phi = 1, 2, 3,...

, n_r= 0, 1, 2,...

Wzory (V.2.3a), (V.2.3b), (V.2.3c) – definiują orbitę po której porusza się elektron.

– główna liczba kwantowa

– azymutalna liczba kwantowa

– definiują kształt orbity

→

V.3. PRZYKŁADY ORBIT SOMMERFELDA.

Pod względem energetycznym wszystkie orbity dla danego n są takie same, bo energia nie zależy od n _&phi – degeneracja orbit.
Degeneracja została zniesiona po wprowadzeniu rachunku relatywistycznego.

Energia – jest charakterystyczna dla danej orbity

Z (V.3.2) wynika, że i wyjaśnia strukturę subtelną linii spektralnych Po uwzględnieniu efektu relatywistycznego energia wyraża się wzorem:

gdzie:
E_NR – część nierelatywistyczna (V.2.3c)
E_R – poprawka relatywistyczna

Poprawka opisuje przesunięcie poziomów energetycznych – pojawienie się struktury subtelnej.

a – stała struktury subtelnej, charakterystyczna wielkość we wzorach fizyki kwantowej
Jest wiele interpretacji tej stałej a, jedną z nich jest:

O tym, które przejścia są dozwolone, a które nie, mówi reguła wyboru: