Valid HTML 4.01 Transitional

VIII.

VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, wzór

Krążący elektron
wzór
(VIII.1.1)
wzór
(VIII.1.2)

Z (VIII.1.1) i (VIII.1.2) wynika (VIII.1.1a):

wzór
(VIII.1.1a)  
wzór
 
wzór
(VIII.1.3)

Z zależności (VIII.1.1a) oraz (VIII.1.3) wynika, że kręt elektronu jest równy:

wzór
(VIII.1.1b)

Elektron jest to cząstka obdarzona masą, ale równocześnie jest ładunkiem poruszającym się. Jest on równoważny bezprzewodowemu przepływowi prądu. Elektron orbitalny ma własności magnetyczne (jest dipolem magnetycznym wzór).

wzór
(VIII.1.4)
wzór

S – powierzchnia obwodu,
i – natężenie prądu w obwodzie, wyraża się ono wzorami (VIII.1.5a) – w układzie Gaussa oraz (VIII.1.5b) – w układzie SI:

wzór
(VIII.1.5a)  
wzór
(VIII.1.5b)  
τ – okres obiegu elektronu po orbicie
Schematyczne przedstawienie orbity atomu
Rys.VIII.1. Schematyczne przedstawienie orbity atomu.  
wzór
(VIII.1.6)  
wzór
(VIII.1.7)  
wzór
(VIII.1.8)  
wzór
(VIII.1.9)

wzór, gdzie wzóroznacza pęd uogólniony ze względu na współrzędną φ

Z wzoru (VIII.1.1b) wynika:
 
wzór
(VIII.1.10)

Z wzorów (VIII.1.9) i (VIII.1.10) otrzymujemy, że powierzchnia S obwodu wynosi:

wzór
(VIII.1.11)

Wyrażenie (VIII.1.11) otrzymaliśmy przechodząc z całkowania po kącie na całkowanie po czasie, przy czym: jeżeli wzór

Z wzorów: (VIII.1.4), (VIII.1.5) oraz (VIII.1.11) otrzymujemy wzór na moment magnetyczny elektronu:

wzór
(VIII.1.12)  
wzór
(VIII.1.13)

Stosunek momentu magnetycznego dipolowego do momentu pędu (krętu) jest wielkością stałą.

Wektorowo:

wzór
(VIII.1.14)

A ponieważ wzór

wzór
(VIII.1.15)

Z teorii Wilsona – Sommerfelda wynika, że

wzór
(VIII.1.16)

Z wzorów (VIII.1.13) oraz (VIII.1.16) otrzymujemy:

wzór
(VIII.1.17) gdzie wzór

Magneton Bohra:
– w układzie Gaussa

wzór
(VIII.1.18)

Z (VIII.1.17) i (VIII.1.18) wynika, że dla wzór:

wzór

Jest to wówczas moment magnetyczny atomu wodoru w stanie podstawowym.

– w układzie SI:

wzór
(VIII.1.18a)

Wartość liczbowa magnetonu Bohra wynosi:

wzór

VIII.2. PRECESJA LARMORA

Jest to częstość wirowania momentu magnetycznego, który ustawiony pod kątem α do pola magnetycznego precesuje wokół pola.

Precesja a) częstość kołowa
wzór
(VIII.2.1a) b) częstość liniowa
wzór
(VIII.2.1b)

Z (VIII.2.1a) wynika, że: wzór oraz że wzór

VIII.3. KWANTOWANIE PRZESTRZENNE wzór

Jeśli zbiór wartości danej wielkości nie jest ciągły – to jest skwantowany. Orientacja przestrzenna wektorów również jest skwantowana, co nazywa się kwantyzacją przestrzenną.
Jeżeli normalna do powierzchni jest skwantowana, to orientacja powierzchni jest skwantowana.

Kwantyzacja orbity
Założenie 1: wzór (pole jednorodne).
Założenie 2: pole magnetyczne nie zaburza kształtu orbit (teoria Wilsona – Sommerfelda).

Współrzędne 3D Współrzędne sferyczne:
P: (r, θ , φ )
x = r sin θ cos φ
y = r cos θ sin &phi
z = r cos &phi
wzór
Ilustracja do kwantyzacji
wzór
(VIII.3.1)  
wzór
(VIII.3.2a) b) częstość liniowa
wzór
(VIII.3.2b)  
wzór
(VIII.3.2c)
wzór
 
wzór
(VIII.3.3)  
wzór
(VIII.3.4a)  
wzór
(VIII.3.4b)  
wzór
(VIII.3.4c)

Z wzoru (VIII.3.1) wynika, że wzór więc:

wzór
(VIII.3.5)

Z zależności (VIII.3.5) oraz (VIII.3.2c) wynika:

wzór
(VIII.3.6)  
wzór
(VIII.3.7)

wzór– rzut wektora L
m – magnetyczna liczba kwantowa – rzut na kierunek pola magnetycznego

wzór
(VIII.3.8) wzór– orbitalna liczba kwantowa
wzór
(VIII.3.9a)

Z wzoru (VIII.3.1) otrzymujemy:

wzór
(VIII.3.9b)

Z wzorów (VIII.3.9a) i (VIII.3.9b):

wzór
(VIII.3.10)

Wzór (VIII.3.10) – skwantowanie α
wzór
wzór

Przykłady kwantyzacji przestrzennej:

a) rysunek wzór
– trzy możliwe orbity
b) rysunek wzór
– pięć możliwych orbit

VIII.4. ENERGIA ELEKTRONU NA ORBICIE ZORIENTOWANEJ.

W 2D (dwóch wymiarach): Energia E = E(r, φ)
W 3D (trzech wymiarach): Energia E = E(r, θ , ψ )

E(r, φ) = E(r, θ , ψ )

wzór
(VIII.4.1)  
wzór
(VIII.4.2)  
wzór
(VIII.4.3)  
wzór
(VIII.4.4)

Z reguł Wilsona – Sommerfelda otrzymujemy:

wzór
(VIII.4.5)  
wzór
(VIII.4.6)

Wniosek:
Energia zależy od sumy wszystkich liczb kwantowych.

VIII.5. KWANTYZACJA RZUTU.wzór

rysunek
wzor
 
wzór
(VIII.5.1)  
wzór
 
wzór
(VIII.5.2)  
wzór
(VIII.5.3)
wzór
 
wzór
(VIII.5.4)   wzór

Kwantyzacja przestrzenna obejmuje oba wektory:wzór