statystyka elektronów w metalach

Przed sformułowaniem mechaniki kwantowej uważano, że rozkład prędkości elektronów swobodnych w metalu jest dany rozkładem Maxwella - Boltzmanna

   (2.1)

gdzie jest średnią liczbą elektronów w jednostce objętości o prędkościach z przedziału wokół . Ten rozsądny (wydawało się) postulat prowadził jednak do wniosku, że wkład elektronów do ciepła właściwego metalu powinien wynosić na mol, co było sprzeczne z eksperymentem.

Wkrótce po pojawieniu się teorii kwantowej jako bardziej adekwatnego opisu cząstek mikroświata, a zwłaszcza po sformułowaniu zakazu Pauliego, stało się jasne, że gaz elektronowy musi być opisywany inna statystyką. Przypomnijmy, że zgodnie z zakazem Pauliego w każdym dostępnym stanie elektronowym może się znaleźć co najwyżej jeden elektron układu. Mechanika statystyczna z uwzględnieniem tej zasady prowadzi do rozkładu Fermiego - Diraca.

   (2.2)

gdzie jest pewną stałą o wymiarze energii, nazywaną potencjałem chemicznym. Formalnie można ją wyznaczyć z warunku unormowania

   (2.3)

Jej sens fizyczny jest następujący: jest ona równa energii niezbędnej dla dodania jednej ekstra cząstki do układu. Można wykazać, że rośnie monotonicznie ze wzrostem liczby cząstek w jednostce objętości.

Zdefiniujmy pewną charakterystyczną temperaturę T_F przyrównując do odpowiadającej jej energii ruchu cieplnego

=k_BT_F.   (2.4)

Dla typowych gęstości elektronów T_F jest rzędu 10⁴ K lub wyższa. Temperatury, w których zazwyczaj badamy metale, są dużo niższe. Dlatego też już w temperaturze pokojowej oba rozkłady bardzo się od siebie różnią (Rys. 2.1)

W wielu zagadnieniach dla uproszczenia analizy można przyjąć graniczną postać rozkładu F - D dla T0. Jest to po prostu funkcja schodkowa .