Obrazuje to rysunek 2.6. W T=0 rozkład elektronów na poziomach energetycznych rośnie jak i jest ostro obcięty na energii Fermiego wskutek prostokątnego kształtu funkcji F-D dla stanu podstawowego. Ważną wielkością charakteryzującą ten rozkład jest gęstość stanów na poziomie Fermiego

    (2.43)

W niezerowych temperaturach rozkład ten ulega rozmyciu wskutek pobudzenia termicznego. Typowa energia drgań jonu jest rzędu k_BT. Tyle też może jednorazowo zaabsorbować elektron. Tylko elektrony znajdujące się na poziomach w odległości k_BT od poziomu Fermiego mogą naprawdę przyjąć te energię i przejść do wyższych, niezapełnionych stanów. Elektrony leżące wyraźnie niżej nie mogą zaabsorbować tej energii, ponieważ nie ma wolnych stanów, do których mogłyby przejść. Możemy na tej podstawie oszacować ciepło właściwe gazu elektronowego.

Energia gazu w T>0 będzie równa energii stanu podstawowego powiększonej o energię wzbudzenia

    (2.44)

Ciepło właściwe molowe przy stałej objętości

    (2.45)

lub po wstawieniu (2.43)

.    (2.46)

W porównaniu z klasyczną formułą mamy tu liniową zależność od temperatury. Co więcej, w temperaturach pokojowych obliczone z (2.46) C_V jest o 2 rzędy wielkości mniejsze niż klasyczne, ponieważ energia termiczna stanowi ok. 1-2% energii Fermiego. Doświadczenie potwierdza oba wnioski otrzymane dzięki prostym oszacowaniom, jednakże teraz policzymy możliwie dokładnie to ciepło właściwe i potem skonfrontujemy z eksperymentem.

Energia układu dana jest przez wyrażenie

.   (2.47)

Całka ta jest dość skomplikowana, jednakże można ją policzyć wystarczająco dokładnie stosując przybliżenie Sommerfelda. Wykorzystuje się w nim fakt, że funkcja F-D odchyla się od swojego kształtu w T=0 tylko w okolicy e=m w przedziale o szerokości k_BT.

W związku z tym odchylenie całki typu od jej wartości w T=0 jest spowodowane w głównej mierze przebiegiem funkcji H(e ) w tym przedziale. Zatrzymując tylko pierwszy wyraz rozwinięcia Sommerfelda otrzymujemy

.    (2.48)

Obliczmy najpierw zależność potencjału chemicznego od temperatury korzystając z równania (2.48). Gęstość elektronów n=N/V dana jest całką

.    (2.49)

Kolejne przybliżenie również wynika z faktu, że m i e_F różnią się nieznacznie:

,    (2.50)

a stąd

.    (2.51)

Całka po prawej stronie znaku równości jest po prostu wartością n w stanie podstawowym. Ponieważ rozpatrujemy problem w stałej objętości, n=const, a więc reszta wyrażenia musi znikać w każdej temperaturze

,    (2.52)

a stąd

.    (2.53)

Obliczona poprawka jest rzędu (k_BT)². To, że jest ona bardzo mała w porównaniu z e_F, będzie jeszcze bardziej widoczne, jeżeli wyrazimy ją w liczbach niemianowanych, korzystając z faktu, że g(e) dla elektronów swobodnych jest proporcjonalna do (równanie 2.42), z czego wynika

    (2.54)

oraz

.    (2.55)

Jak widać, poprawka jest rzędu 10^-4 w temperaturze pokojowej.

Wróćmy teraz do obliczenia energii gazu elektronowego. Gęstość energii jest równa

.    (2.56)

Całka po prawej stronie równania jest gęstością energii w stanie podstawowym u₀, a dwa następne człony znikają na podstawie (2.52), czyli

.    (2.57)

Stąd ciepło właściwe molowe w stałej objętości

    (2.58)

gdzie V jest objętością molową. Porównując to z równaniem (2.45) widzimy, że nasze poprzednie oszacowanie było całkiem dobre, bo różni się od wyniku (2.58) o niewielki czynnik rzędu 1. Dla elektronów swobodnych możemy skorzystać z gęstości stanów danej równaniem (2.43) i dzięki temu otrzymamy

.   ( 2.59)

Eksperymentalna weryfikacja tej zależności wymaga wyizolowania wkładu elektronowego. Wkład do C_V pochodzący od drgań jonów jest na ogół znacznie większy, jednakże w niskich temperaturach staje się porównywalny i może być przybliżony przez wyrażenie AT³. Łączne ciepło właściwe ma postać

C_v=gT+AT³    (2.60)

Dzieląc to równanie przez T i wprowadzając nowe zmienne x=T², y=C_V/T otrzymujemy zależność liniową, z której możemy wyznaczyć interesujące nas parametry g i A przez dopasowanie do wyników eksperymentalnych.

Rys. 2.7. Ciepło molowe C_V srebra w niskich temperaturach

Wartości g wynikające z takiego dopasowania zgadzają się bardzo dobrze z oszacowaniem teoretycznym dla Ag i Au (g_exp=6,70310^-4 J mol^-1K^-2,
g _teor=6,30310^-4 J mol^-1K^-2), dosyć dobrze dla Cu i metali alkalicznych (z wyjątkiem Li), a co do rzędu wielkości w wielu innych metalach. W niektórych metalach są niestety duże niezgodności, np. w Mn g_exp>> g_teor, a w Bi odwrotnie. Oznacza to, że przybliżenie swobodnych elektronów nie zawsze jest wystarczające, mimo uwzględnienia kwantowej statystyki.