przewodność elektryczna metali według teorii Sommerfelda

Sommerfeld założył, że elektrony przewodnictwa podlegają klasycznej dynamice i kwantowej statystyce. Ponieważ prąd elektryczny związany jest transportem pędu, rozważmy zachowanie się gazu elektronowego w przestrzeni k pod wpływem przyłożonego pola elektrycznego E. Bez pola stany elektronowe są reprezentowane przez regularną sieć punktów w przestrzeni k. Dozwolone stany leżą wewnątrz sfery Fermiego o promieniu k_F i środku w punkcie 0. Po przyłożeniu pola każdy punkt k zmienia swoje położenie zgodnie z równaniem

    (2.61)

Oznacza to, że cała kula Fermiego przesuwa się równolegle

Nie ma tu sprzeczności z zakazem Pauliego, gdyż najpierw przemieszczane są elektrony ze stanów leżących na powierzchni Fermiego (lub tuż pod nią ) do wolnych stanów o wyższej energii, a na zwolnione miejsca wchodzą elektrony ze stanów położonych niżej. Przewodnictwo elektryczne zależy w istotny sposób od gęstości stanów na poziomie Fermiego.

Gęstość prądu jest zdefiniowana przez

    (2.62)

Jeżeli f(u) jest równowagową funkcją rozkładu F-D, f₀(u), to całka znika tożsamościowo z warunków symetrii

.    (2.63)

Po przyłożeniu pola E, funkcja F-D f(u) jest zmodyfikowana o człon odpowiedzialny za energię oddziaływania z polem:

    (2.64)

Podstawiając (2.64) do (2.62) widzimy, że gęstość prądu zależy tylko od tej poprawki

.    (2.65)

Obliczmy tę poprawkę pamiętając, że funkcja F-D zależy w istocie od energii

   (2.66)

gdzie a wynika z (2.2).

Obliczoną poprawkę wstawiamy do (2.65)

.    (2.67)

Zakładamy, że u nie zależy od u, a ponadto wybieramy kierunek osi Ox jako równoległy do pola i prądu. Wtedy powyższe równanie redukuje się do postaci

.    (2.68)

Korzystamy teraz z faktu, że

    (2.69)

i dla gęstości prądu otrzymujemy

.    (2.70)

Korzystając z wprowadzonej poprzednio gęstości stanów g(e ) przechodzimy do całkowania po energii

    (2.71)

i ostatecznie otrzymujemy

    (2.72)

Widzimy, że przewodność elektryczna jest wprost proporcjonalna do gęstości stanów elektronowych na poziomie Fermiego (wynik ten nie zależy od konkretnego kształtu zależności e(k)). Jest to intuicyjnie jasne, gdyż w procesach transportu biorą udział elektrony, których wektory falowe są na powierzchni Fermiego lub w jej najbliższym otoczeniu. Jednakże, jeżeli konsekwentnie zastosujemy w tym miejscu model elektronów swobodnych, otrzymamy na powrót wyrażenie (1.15):

    (2.73)

ponieważ

Fenomenologiczny parametr t, który wprowadziliśmy tu jako średni czas między zderzeniami dla pojedynczego elektronu, jest - w języku mechaniki falowej - średnim czasem trwania stanu kwantowego określonego wektorem k. Przy tej interpretacji opisuje on również zachowanie się kuli Fermiego jako całości. Przy włączonym polu E ogranicza on przyrost energii i pędu układu elektronów. Dzięki temu kula Fermiego zatrzymuje się w nowym ustalonym położeniu, przesuniętym o względem stanu równowagi, co obserwowane jest jako stała wartość prądu. Po wyłączeniu pola rozpraszanie trwa nadal: elektrony w stanach k leżących powyżej równowagowej powierzchni Fermiego przechodzą do niezapełnionych stanów poniżej tej powierzchni. Wielkość 1/t jest miarą szybkości tego rozpraszania - możemy ją interpretować jako prawdopodobieństwo rozproszenia na jednostkę czasu. Jeżeli przez N(t) oznaczymy aktualną ilość elektronów w stanach powyżej powierzchni Fermiego, to ubytek tej liczby na jednostkę czasu wynosi

.    (2.74)

Rozwiązaniem tego równania jest

    (2.75)

gdzie N₀ jest liczbą elektronów powyżej sfery Fermiego w t=0, a t - czasem relaksacji, tj. stałą czasową charakteryzującą zanik N(t).

Tak wprowadzony czas t opisuje jeden wyróżniony (np. myślowo) mechanizm rozpraszania. Tymczasem przyczyn rozpraszania może być więcej. Podkreślmy tu od razu, że w modelu Sommerfelda idealna sieć krystaliczna nie powoduje rozpraszania. Rozproszenia powodowane są raczej odchyleniami sieci od regularności. Istotne odchylenia powstają wskutek drgań termicznych jonów - stąd pochodzi obserwowana we wszystkich metalach zależność oporu elektrycznego od temperatury.

Rys. 2.9. Zależność oporu właściwego metali od temperatury - oporność resztkowa

W wysokich temperaturach zależność ta jest w przybliżeniu liniowa. W niskich temperaturach oporność zachowuje się jak T ⁵ z tym, że przy T0 nie zmierza do zera, lecz do pewnej wartości stałej, , zależnej od próbki, zwanej opornością resztkową (zależnej od rodzaju i koncentracji defektów stałych, tj.: domieszki obcych atomów, wakanse, dyslokacje, błędy ułożenia i granice ziaren). Defekty te powodują lokalne zmiany gęstości ładunku, a w ślad za tym odchylenia potencjału od periodyczności, co jest przyczyną dodatkowego rozpraszania. Jeżeli koncentracja defektów nie jest duża, to rozpraszają one niezależnie od siebie i niezależnie od drgań jonów. Możemy więc napisać dwa niezależne równania opisujące rozpraszanie ze stanów powyżej równowagowej powierzchni Fermiego:

    (2.76)

dla rozpraszania termicznego oraz

    (2.77)

dla rozpraszania na defektach stałych.

Całkowity efekt rozpraszania jest dany przez sumę

.    (2.78)

Oznacza to, że możemy formalnie wprowadzić całkowity czas relaksacji dany wzorem

.    (2.79)

Po wstawieniu tego czasu do równania na oporność

    (2.80)

otrzymujemy tzw. regułę Matthiessena (1867 r.)

,    (2.81)

którą możemy wyrazić słownie: oporności elektryczne pochodzące od niezależnych procesów rozpraszania są addytywne. Dla dwóch omówionych tu typów rozpraszania możemy zapisać zależność oporności od temperatury w postaci

.    (2.82)

gdzie jest opornością resztkową, a - tzw. opór idealny, tzn. opór właściwy idealnej sieci krystalicznej, spowodowany tylko jej drganiami termicznymi.

Rys. 2.10. dla wolframu dla różnych
(Schulze str. 290)

Rys. 2.11. Zmiany dla Cu i jej stopów
(Wilkes str. 96)

W praktyce oporność resztkową r ₀ mierzy się nie w T=0, lecz w temperaturze ciekłego helu (4.2 K). Dla bardzo czystej miedzi r (300K)=1.55´ 10^-8 WM m, natomiast r  (4.2 K) jest około 10000 razy mniejsze. Oznacza to, że w temperaturze pokojowej praktycznie r  (T)= r _i (T).

Teoretyczną zależność można wyprowadzić analizując oddziaływanie elektronów przewodnictwa z fononami, tj. kwantami drgań sieci.

Zależność tę opisuje formuła Blocha - Grüneisena:

    (2.83)

gdzie jest temperaturą Debye'a, parametrem charakteryzującym właściwości termiczne materiału. Dla niskich temperatur (T® 0) górną granicę całki możemy przybliżyć przez nieskończoność. Całka wtedy staje się liczbą, rzędu jedności, a stąd . Z kolei dla wysokich temperatur (T® Ą ) górna granica całki przyjmuje bardzo małe wartości, a wtedy możemy przybliżyć funkcje wykładnicze pod znakiem całki korzystając z przybliżonej równości: . Całka wtedy staje się elementarna i otrzymujemy .

Przedyskutujemy przypadek graniczny wysokich temperatur, aby zrozumieć fizyczne powody liniowej zależności.

Załóżmy wysokie temperatury, tzn. T>> . Można wtedy traktować drgania sieci klasycznie. Z zasady ekwipartycji energii średnia energia kinetyczna drgającego atomu wynosi

.    (2.84)

W stanie równowagi termicznej średnia energia potencjalna jest równa średniej energii kinetycznej:

    (2.85)

a stąd

.    (2.86)

Prawdopodobieństwo rozproszenia powinno być proporcjonalne do lokalnej zmiany energii potencjalnej, więc

.

Z drugiej strony

Tak więc

a stąd

    (2.87)

dla odpowiednio wysokich temperatur.

Ten sam wynik otrzymamy w obrazie fononowym. Rozproszenie elektronu na fononie polega na pochłonięciu lub absorpcji fononu przez elektron, przy czym muszą być spełnione prawa zachowania:

    (2.88)

gdzie q jest wektorem falowym fononu, a w (q) jego relacją dyspersji. Pierwsze z tych praw wymaga pewnej korekty związanej z periodycznością sieci, ale istotne jest to, że prawdopodobieństwo przejścia elektronu ze stanu k do k' jest proporcjonalne do ilości fononów w stanie q, a więc o energii . Zgodnie ze statystyką Bosego - Einsteina ilość fononów o energii dana jest wyrażeniem

    (2.89)

które dla wysokich temperatur prowadzi do wyniku

.    (2.90)

Ilość możliwych rozproszeń elektronów na jednostkę czasu jest proporcjonalna do tej liczby, co daje identyczny rezultat jak (2.87).

Analiza dla niskich temperatur jest możliwa tylko w opisie fononowym, ale jest zbyt skomplikowana, toteż ją pomijamy.

Oporność resztkowa pochodzi od rozpraszania na defektach stałych. W ramach modelu elektronów swobodnych można wyjaśnić wpływ atomów obcych na . Atom domieszki powoduje lokalną zmianę potencjału. Jeżeli różnica między wartością domieszki, a wartością matrycy wynosi , to odpowiadająca temu zmiana potencjału wynosi

.    (2.91)

Prawdopodobieństwo rozproszenia, zgodnie z mechaniką kwantową, jest proporcjonalne do kwadratu modułu potencjału rozpraszającego i to samo dotyczy czasu relaksacji

.    (2.92)

Znajduje to potwierdzenie doświadczalne (Rys. 2.12)

Rys. 2.12. Zmiany oporności spowodowane 1% domieszką obcych atomów. (Wilkes, str. 97)