sieć Bravais i sieć odwrotna

Sieć Bravais jest pewną abstrakcją matematyczną opisującą periodyczne ułożenie atomów kryształu w przestrzeni trójwymiarowej. Jej definicja brzmi:

Trójwymiarowa sieć Bravais jest zbiorem wszystkich tych punktów przestrzeni, których wektory wodzące mają postać

   (3.1)

gdzie , , są dowolną trójką wektorów nie leżących w jednej płaszczyźnie, a współczynniki , , są dowolnymi liczbami całkowitymi.

Jeżeli wybierzemy wektory , , w taki sposób, że każdy atom kryształu pierwiastka metalicznego ma współrzędne całkowite , , , to wektory a_i są tzw. wektorami prymitywnymi sieci.

Rys. 3.1. Dwuwymiarowy przykład sieci Bravais.

Kryształ rzeczywisty składa się ze skończonej liczby atomów, toteż ich pozycje reprezentowane są przez skończony podzbiór sieci Bravais. Z reguły do rozważań wybiera się podzbiór najprostszy, tj. takie wektory , dla których , , , przy czym N₁N₂N₃=N, gdzie N jest ilością atomów.

Translacja o wektor R przeprowadza dany punkt sieci w inny punkt tej sieci. Dlatego też przez "sieć Bravais" rozumie się także zbiór translacji danych przez wektory R, które przekształcają sieć w samą siebie.

Komórka elementarna prymitywna danej sieci Bravais jest to taki minimalny obszar przestrzenny, który po translacjach o wszystkie wektory tej sieci wypełnia całkowicie przestrzeń. Wybór takiego obszaru nie jest jednoznaczny, ale najbardziej naturalny jest wybór równoległościanu rozpiętego na trójce wektorów prymitywnych a_i. Objętość takiego równoległościanu jest równa objętości przypadającej na jeden punkt sieciowy. Tak wybrany równoległościan na ogół nie ma symetrii sieci. Dlatego też często posługujemy się umowną komórką elementarną. Jest to minimalny obszar mający pełną symetrię sieci, którym można wypełnić przestrzeń dokonując translacji przy użyciu wektorów sieci Bravais (niekoniecznie wszystkich). Z reguły obszar ten zawiera więcej niż jeden punkt sieciowy. Tak np. dla sieci Bravais odpowiadającej strukturze A1 (fcc) umowna komórka elementarna zawiera 4 punkty sieciowe (Rys. 1.4a), a w przypadku struktury A2 (bcc) - 2 punkty (rys.1.4b).

Dla każdej sieci Bravais można jednak wybrać taką komórkę elementarną prymitywną, która będzie miała pełną symetrię tej sieci. Jest to tzw. komórka Wignera - Seitza (W - S). Konstruuje się ją łącząc wybrany punkt sieci liniami prostymi z sąsiednimi punktami, a następnie przecinając otrzymane w ten sposób odcinki w połowie ich długości płaszczyznami do nich prostopadłymi. Najmniejszy z wielościanów utworzony przez te płaszczyzny i zawierający dany punkt jest właśnie komórką W - S. Przykład konstrukcji komórki W - S dla sieci płaskiej podaje Rys. 3.2.

Rys. 3.2. Komórka W - S dla płaskiej sieci Bravais: zakreskowano sześciokąt zawierający punkt 0.

Sieć odwrotną do danej sieci Bravais, określonej przez zbiór wektorów R, definiujemy jako zbiór wszystkich tych wektorów falowych K, dla których zachodzi równość

.   (3.2)

Sieć odwrotna jest również siecią Bravais, tylko że w przestrzeni k. Jeżeli sieć prosta jest rozpięta na wektorach a₁, a₂, a₃, to możemy zdefiniować trzy wektory w przestrzeni k:

   (3.3)

gdzie jest objętością komórki prymitywnej sieci prostej. Wykażemy, że b_i tworzą układ wektorów prymitywnych sieci odwrotnej. Dowolny wektor k można przedstawić w postaci kombinacji liniowej wektorów b_i:

.(3.4)

Z kolei dowolny wektor sieci prostej ma postać

.(3.5)

Dzięki definicjom (3.3)

(3.6)

ponieważ

(3.7)

gdzie

jest deltą Kroneckera

,

, .(3.8)

Aby równanie (3.2) było spełnione, prawa strona równania (3.6) musi być całkowitą wielokrotnością 2p;. Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego jest, aby m₁, m₂, m₃ były liczbami całkowitymi. Wtedy wektory k dane równaniem (3.4) tworzą sieć Bravais rozpiętą na wektorach prymitywnych b_i.

Tabela 3.1. Zestawienie niektórych sieci Bravais prostych i odwrotnych

Sieć prosta	Sieć odwrotna
regularna prosta	regularna prosta
regularna. płasko centrowana	regularna przestrzennie centrowana
heksagonalna prosta	heksagonalna prosta

Ważnym pojęciem w teorii stanów elektronowych w potencjale okresowym jest strefa Brillouina. Pierwsza strefa Brillouina jest komórką Wignera - Seitza sieci odwrotnej. Kształty tych stref dla sieci A1 i A2 można zobaczyć na Rys. 3.3 i 3.4 pamiętając, że I strefa Brillouina dla sieci A1 jest komórką W - S dla sieci A2 i odwrotnie.

Rys. 3.3 Komórka Wignera - Seitza przestrzennie centrowanej sieci Bravais ("ośmiościan ścięty")
(Ashcroft, str. 104)

Rys. 3.4 Komórka Wignera - Seitza płasko centrowanej regularnej sieci Bravais ("dwunastościan rombowy")
(Ashcroft, str. 104)