Zapełnianiem stanów elektronowych w teorii pasmowej rządzi zasada Pauliego: jeden stan określony liczbami kwantowymi n i k może być obsadzony przez dwa elektrony o przeciwnych spinach.

Elektron opisany funkcją Blocha jest naładowaną cząstką biegnącą przez kryształ. W obrazie klasycznym reprezentuje prąd elektryczny

W paśmie całkowicie zapełnionym każdemu elektronowi o wektorze falowym k towarzyszy elektron z -k i odpowiednie przyczynki do prądu znoszą się.

To wstrząsający paradoks teorii pasmowej: elektrony pasma całkowicie zapełnionego nie mogą wytworzyć prądu nie dlatego, że są w jakiś sposób unieruchomione, lecz że olbrzymie (w teorii) przyczynki do prądu znoszą się idealnie do zera. Nierównowaga liczby elektronów z wektorami falowymi k i -k i w konsekwencji przepływ wypadkowego prądu jest możliwy w paśmie częściowo zapełnionym.

Podpasmo zawiera N (N - liczba komórek prymitywnych) wartości k. Zasada Pauliego dopuszcza obsadzenie każdego stanu przez dwa elektrony o przeciwnych spinach, więc liczba stanów w podpaśmie wynosi 2N, zaś w paśmie jest parzystą wielokrotnością N.

Komórka prymitywna zawierać może parzystą bądź nieparzystą liczbę elektronów walencyjnych, zatem liczba elektronów w idealnym krysztale może wynosić tylko: N, 2N, 3N, 4N, itd. Dla nieparzystej liczby elektronów pasmo musi być obsadzone częściowo. Możliwy jest przepływ prądu w temperaturze zera bezwzględnego, co jest doświadczalną cechą metalu. Reasumując,

Logicznym dopełnieniem tego twierdzenia jest, że

Zwróćmy uwagę, że przy pomocy liczenia dosłownie "na palcach" otrzymaliśmy kryterium, które można testować eksperymentalnie. Jeżeli za miarę metaliczności pierwiastka przyjąć jego przewodność elektryczną, to warto zauważyć, że metale o największej przewodności w temperaturze pokojowej - kolejno Ag, Cu, Al, Au, Na - są pierwiastkami o nieparzystej liczbie atomowej Z i jednym atomie w komórce prymitywnej, a zatem o nieparzystej liczbie elektronów na komórkę. W układzie okresowym metale grupują się po lewej, a niemetale po prawej stronie, ale charakterystyczne jest że półprzewodniki pojawiają się najpierw w "parzystej" kolumnie IV, w grupie V następuje odzyskanie własności metalicznych dla As, Sb i Bi. Autor tego wykładu nie zna stechiometrycznego kryształu, dla którego kryterium stanu metalicznego (3.2) nie było by spełnione.

Parzysta liczba elektronów w komórce jest warunkiem koniecznym by materiał mógł być półprzewodnikiem. Przykładowo, arsenek galu GaAs może być (i jest) półprzewodnikiem, bo komórce prymitywnej mamy po jednym atomie Ga i As, więc łączna liczba elektronów walencyjnych 3 + 5 = 8 jest parzysta. Ta sama liczba 8 elektronów występuje dla krzemu, bo w komórce prymitywnej tego kryształu mamy nie jeden, a dwa atomy. Liczba 8 elektronów jest niezbędna, by zapełnić całe pasmo walencyjne, złożone jak pokazuje rys. 2.7, z czterech podpasm.

3.2. METAL W TEORII PASMOWEJ

Energia Fermiego oddziela puste i zajęte poziomy energii. Jej związek z funkcją gęstości stanów jest dany wzorem

tak samo jak dla przypadku elektronów swobodnych.

Ważnym parametrem metalu jest gęstość stanów na poziomie Fermiego D(E_F). Od wartości D(E_F) zależy ciepło właściwe i paramagnetyzm elektronów przewodnictwa.

Powierzchnia izoenergetyczna to miejsce geometryczne punktów o stałej energii w przestrzeni odwrotnej. Powierzchnia odpowiadająca energii E_F to powierzchnia Fermiego, zdefiniowana formalnie wzorem

Rys. 3.1. Strefa Brillouina i jej obsadzenie przez elektrony dla wyimaginowanego
2-wymiarowego metalu: punkty sieci odwrotnej, punkty wysokiej symetrii,
granice strefy Brillouina, linie izoenergetyczne, powierzchnia Fermiego, zacieniowano część strefy obsadzoną przez elektrony

Rysunek 3.1 przedstawia linie równej energii i powierzchnię Fermiego dla wyimaginowanego dwuwymiarowego metalu. Nie musi już być kulą jak dla elektronów swobodnych, co pokazuje przykład powierzchi Fermiego miedzi (rys. 3.2).

Rys. 3.2 Obliczona powierzchnia Fermiego miedzi

Kolekcja powierzchni Fermiego wszystkich pierwiastków metalicznych jest przedstawiona na stronach Univeristy of Florida.

Istotną cechą półprzewodnika jest nie samo istnienie przerwy, lecz sekwencja: całkowicie zapełnione pasmo walencyjne, przerwa energetyczna i puste pasmo przewodnictwa. W przypadku półprzewodników wzór (3.4) nie określa wartości E_F, gdyż jest spełniony dla dowolnej wartości E mieszczącej się w obszarze przerwy. Ponadto D(E_F) = 0 i nie ma powierzchni Fermiego.

a) Przerwa energetyczna i jej rodzaje

Prawie wszystkie własności elektronowe półprzewodnika określa przerwa energetyczna i kształt pasm w pobliżu wierzchołka pasma walencyjnego i dna pasma przewodnictwa.

Parametrem ilościowym przerwy jest jej szerokość, oznaczana E_g. Przerwa o szerokości 1,1 eV (Si) czy 1,4 eV (GaAs) jest optymalna z punktu widzenia większości przyrządów elektronicznych, zapewniając wymaganą koncentrację nośników przy jednoczesnej małej wrażliwości na wpływ temperatury. Do generacji światła widzialnego niezbędna jest przerwa o szerokości powyżej 1,6 eV. Przykładowo, opanowanie technologii GaN (E_g = 3,4 eV) umożliwiło budowę diod świecących w kolorze niebieskim, fioletowym, a nawet w bliskim nadfiolecie.

Jakościowo wyróżniamy przerwę prostą i przerwę skośną. W przypadku przerwy prostej dno pasma przewodnictwa i wierzchołek pasma walencyjnego występują dla tej samej wartości k, zwykle dla k = 0. Tak jest dla GaAs czy GaN.

Większość półprzewodników posiada przerwę skośną. Przykładowo, dla Si minimum pasma przewodnictwa zachodzi dla pewnego punktu na odcinku X (rys. 2.7), natomiast wierzchołek pasma walencyjnego dla k = 0. Przerwa skośna zapewnia długi czas życia nośników (co jest niezbędne dla działania tranzystora bipolarnego), natomiast przerwa prosta stanowi niezbędny warunek wydajnej generacji światła.

b) Koncepcja dziury

Jednym z najważniejszych rezultatów teorii pasmowej jest koncepcja dziury jako kwazicząstki z określonym ładunkiem, kwazipędem, energią i masą efektywną. Pojedyncza dziura to pasmo prawie całkowicie zapełnione, w którym jeden stan o wektorze falowym k_h jest pusty. W paśmie całkowicie zapełnionym przyczynki do wypadkowego prądu pochodzące od każdej pary elektronów k, -k znoszą się. Dziura powoduje, że powstaje nierównowagowy prąd spowodowany przez elektron "bez pary" równy i_h = -q_ehk_{el. bez pary}/m.

Ponieważ chcemy mówić o dziurze, a nie o elektronie bez pary, więc równanie to można przepisać w postaci

co oznacza przypisanie dziurze dodatniego ładunku +q_e.

Rys. 3.3. Dziura jako nieobsadzony stan u wierzchołka pasma walencyjnego.

W analogiczny sposób kwazipęd dziury identyfikować należy z kwazipędem elektronu "bez pary". W rezultacie uzyskujemy nieco paradoksalny wynik, że

skierowany jest przeciwnie do wartości k_h określającej położenie nieobsadzonego stanu w paśmie.

Dla określenia energii kinetycznej dziury przyjmujemy konwencję, że dziura ma energię zerową, jeżeli znajduje się w wierzchołku pasma. Jej przeniesienie do stanu o danym k_h to nic innego, jak przeniesienie elektronu z tego stanu na wierzchołek pasma elektronu, co wymaga dostarczenia energii. Energia dziury jest więc tym większa, im niższy jest poziom energii w którym się znajduje. Stosując przybliżenie masy efektywnej energię kinetyczną dziury zapisujemy jako

Wartość masy efektywnej dziury określa, jak dla elektronów, krzywizna relacji dyspersji, (wzór 2.10)

Doświadczalne rozróżnienie półprzewodników (materiałów o słabym przewodnictwie elektrycznym) i izolatorów (nie przewodzących prądu) powstało jeszcze w wieku XIX. Twórcy teorii pasmowej (lata 30-te XX w.) uważali, że wynika to z szerokości przerwy energetycznej - małej dla półprzewodników, dużej dla izolatorów. Rozróżnienie to pokutuje do dziś w wielu podręcznikach, za umowną granicę przyjmuje się np. 2,5 eV (W. Marciniak: Przyrządy półprzewodnikowe). Choć wiadomo, że typowymi półprzewodnikami są tak GaN o przerwie 3,4 eV (używany do produkcji niebieskich diod) jak i diament (Eg = 5,4 eV).

Reasumując, teoria pasmowa jest przybliżeniem, które dobrze opisuje własności metali i półprzewodników, zaś źle - izolatorów. Teoria własności elektronowych izolatorów (jak kwarc SiO₂, siarka czy polietylen) wykracza poza model pasmowy i uwzględniać musi zjawiska lokalizacji elektronów.