Opracowanie: Grzegorz Szymczyk

     
         
 
TEMAT:
Uzupełnienie rachunku
różniczkowego funkcji jednej zmiennej
 

I. FUNKCJE UWIKŁANE


           Niech F : Rn × Rn Rk

 

           Pytamy kiedy równanie F(x,y) = 0 przedstawia funkcję uwikłaną  y = y(x).
          

             
             

 

 

 

TWIERDZENIE 14.1    (O FUNKCJI UWIKŁANEJ)

 

Z:        Niech

F : Rn × Rn Rk

                oraz F(xo,yo) = 0 i dyF(xo,yo) jest izomorfizmem

T:        1.   g : U V

                                   2.  

                                                                       3.  

 

 

 

 

WNIOSEK 14.1

 

Z:        są spełnione założenia tw.14.1

 

T:             1.   

                                                           2.  

                                                                       3.

 


II. EKSTREMA WARUNKOWE

PRZYKŁAD 14.1

 

Zbadać ekstrema funkcji:   z = 4 - x2.- y2      

Przy warunku:   x + y = 1       

Zbadać ekstrema warunkowe to znaczy znaleźć ekstrema danej funkcji w dziedzinie zacieśnionej przez zadany  warunek.

wstawiam do funkcji z:                    

obliczam pochodną funkcji z:         

przyrównuję pochodną do zera:    

więc:              

Z warunku mamy                           

 

 

 

 

PRZYKŁAD 14.2

 

                     przy warunku:     

Gdy z warunku wyliczymy:              

Z układu tych równań wyliczamy

otrzymaliśmy 2 punkty:

druga pochodna jest równa:

Funkcja z osiąga minimum lokalne w punktach P1 i P2

Ale gdy z warunku wyliczymy:        

otrzymujemy:

pochodna jest równa:

otrzymaliśmy 2 punkty:

ponieważ:     

Więc funkcja z osiąga maksimum lokalne w punktach:

 

 

III. METODA MNOŻNIKÓW LAGRANGE’A

          Założenie:

            

          Szukamy ekstremów funkcji y=f(x) przy warunku g(x)=0.

          W tym celu tworzymy funkcje Lagrange’a:

          L(x,λ):=f(x)+λg(x)

          Niech

          Zauważam że

 

 

 

TWIERDZENIE 14.2    (WARUNEK KONIECZNY ISTNIENIA EKSTREMUM
                                                      WARUNKOWEGO)

 

Z:        funkcja f osiąga ekstremum warunkowe w xo

przy warunku: g(x)=0

 

T:         

 

 

 

 

TWIERDZENIE 14.3    (WARUNEK WYSTARCZAJĄCY ISTNIENIA
                                                      EKSTREMUM   WARUNKOWEGO)

 

Z:        w punkcie jest spełniony warunek konieczny oraz

 

T:        f osiąga w xo minimum warunkowe (maksimum warunkowe)

 

 

 

 

PRZYKŁAD 14.2 (c.d.)

 

zbadać ekstremum funkcji  przy warunku:  

tworzymy funkcję Lagrange’a:

Warunek konieczny:

Rozwiązując układ otrzymujemy:

                     

dla punktu P1 mamy:

                     

 

                jest określona dodatnio, zatem w punkcie P1 mamy minimum warunkowe

Postępując tak samo dla kolejnych punktów znajdziemy pozostałe ekstrema warunkowe.

 

         UWAGA:

Jeżeli:

1. i druga różniczka funkcji Lagrange’a jest określona dodatnio (ujemnie) to funkcja f osiąga w x0 minimum(maksimum) warunkowe.

2. jeżeli druga różniczka funkcji Lagrange’a jest nieokreślona lub półokreślona wtedy należy badać określoność drugiej różniczki przy warunku:   

 

 

 

 

DEFINICJA 14.1     (HESJAN OBRZEŻONY)

 

Mamy daną macierz postaci:

         

 

 

 

 

Minory główne tej macierzy nazywamy hesjanami

 

 

 

 

TWIERDZENIE 14.4   

 

 

 

WNIOSEK 14.2    (WARUNEK WYSTARCZAJĄCY)

 

Z:         w punkcie

Jest spełniony warunek konieczny oraz

 

T:        funkcja f w punkcie xo osiąga minimum (maksimum) warunkowe.

 

 

 

III. Szukanie wartości największej i najmniejszej w zbiorze.

 

PRZYKŁAD 14.2 (c.d.)

 

Znaleźć wartość największą i najmniejszą funkcji z w obszarze

    gdy    .

Szukamy punktów stacjonarnych wewnątrz obszaru D:

 

 


Więc w punkcie  funkcja może posiadać ekstremum

Badamy punkty stacjonarne na brzegu obszaru D.:

konstruujemy funkcję Lagrange’a: 

w.k.:                           

 

 

 

więc w punktach:   funkcja może mieć ekstremum warunkowe.

Wartości funkcji z w tych punktach wynoszą:


Więc:  zmin = z(P3) = z(p2) = -1
            zmaks = z(P4) = z(P5) = 1

       


Strona głównA